Entre los aficionados variabilistas, el método fotométrico más asequible y barato es el de los grados de Herschel-Argelander. Y digo barato, porque no cuesta más que el trabajo de aprenderlo, y la instrumentación se reduce al propio telescopio y al ojo bien adiestrado.

El problema con que nos enfrentamos es el de medir la magnitud aparente de una estrella variable. ¿Como conseguirlo?: Ante todo hay que contar con una serie de estrellas patrón de magnitud perfectamente conocida y situadas en el campo estelar donde se encuentra la estrella problema. Conviene que sean bastantes , ya que cuantas más haya más precisión se obtendrá en las medidas, pero a veces basta con solo dos o tres. Eso si, es condición necesaria que haya entre las estrellas standard, estrellas de mayor y de menor brillo que la problema.

El método consiste en reducir la diferencia de brillo de las estrellas patrón, a una escala de grados, y estos a su vez, a una escala de magnitudes. Discutamos a continuación como valorar las diferencias de brillo de las estrellas patrón y de la variable problema. Distingamos los diferentes grados de diferencia en brillo:

GRADO 0: Supongamos que entre la estrella patrón y la problema, no existe absolutamente ninguna diferencia de brillo (se trata de una apreciación absolutamente subjetiva), entonces decimos que entre la estrella problema y la patrón hay una diferencia de 0 grados. Simbólicamente se representa (a0V) o bien (V 0 a) siendo V la variable y a la estrella standard.

GRADO 1: Si a en una primera ojeada ambas parecen tener igual brillo, pero al ir trasladando la vista de a a V y de V a a , una de las estrellas parece ligerisimamente más brillante que la otra, diremos que una de las estrellas es un grado mas brillante que la otra. Simbólicamente (a1V) o bien (V1a) según cual se a la más brillante.

GRADO 2: Si una estrella aparece, sin ninguna duda, más brillante que la otra, pero la diferencia es tan pequeña que casi tienen el mismo brillo, entonces asignamos dos grados, (a2V) o bien (V2a).

GRADO 3: Si la diferencia de brillo es inmediatamente reconocida sin ningún examen atento por nuestra parte, asignaremos el grado 3 (a3V) o (V3a).

GRADO 4 o 5: Si las diferencias son ya muy grandes, el variabilista puede asignar 4, 5 o asta más grados, según esté entrenado su ojo a esta escala de valor. También se pueden introducir apreciaciones de 0.5 grados, todo depende de lo experimentado que sea el observador.

Veamos ahora como nos enfrentamos al problema de una forma practica. Supongamos que la variable ha sido observada en tres ocasiones con un estado de brillo diferente, y que hemos escogido cuatro estrellas patrones de referencia a, b, c, y d escritas en orden creciente de magnitud, es decir que a es la que posee la menor magnitud y por tanto es la más brillante, y d la de mayor magnitud y por tanto la más débil. Supongamos que hemos encontrado los siguientes datos:

(am1V) significa que a es m1 grados más brillante que V. (Vq1d) significa que la variable es q1 grados más brillante que d.

Lo que procede ahora, es determinar a partir de estos datos las diferencias de brillo en grados entre las estrellas patrón, es decir, las diferencias de brillo entre a y b, entre b y c, y entre c y d. Calculemos primero los grados que es más brillante a que b. Este valor que denominaremos M1 es el valor medio deducido de las tres observaciones hechas anteriormente. Así observando la primera medida , se comprende que si a es m1 grados más brillante que V, y a a su vez V n1 más brillante que b, lógicamente a será (m1 + n1) más brillante que b. Si observamos ahora la segunda medida, vemos que si a es m2 grados más brillante que V y b lo es n2 mas que V, entonces a será (m2 -n2) grados más brillante que b. Análogamente en la tercera medida obtenemos que a es (m3 - n3) grados mas brillante que b.

Así M1 es el valor medio de los tres anteriormente calculados nos indica cuantos grados es a más brillante que b:

M1 = ((m1 + n1) + (m2 -n2) + (m3-n3) ) / 3

Determinemos ahora el valor medio (M2) de grados en que b es más brillante que c.

1ª medida: si V es n1 grados más brillante que b y V es p1 grados más brillante que c; deducimos que b ha de ser (p1 - n1) grados más brillante que c.

2º medida: si b es n2 grados más brillante que V y V es p2 grados más brillante que c; deducimos que b ha de ser (n2 + p2) grados más brillante que c.

3º medida: si b es n3 grados más brillante que V y c es p3 más brillante que V, entonces b es (n3 - p3) grados más brillante que c.

Por los tres valores anteriores, M2 es :

M2 = (p1 - n1) + (n2 + p2) + (n3 -p3)) / 3

Veamos ahora el valor medio M3 que nos da los grados en que c es más brillante que d.

1ª medida: Si (Vp1c) y (Vq1d) => (c(q1 - p1)d)

2ª medida: Si (Vp2c) y (Vq2d) => (c(q2 - p2)d)

3ª medida: Si (cp3V) y (Vq3d) => (c(p3 + q3)d)

M3 = ((q1 -p1) + (q2 -p2) + (p3 +q3)) / 3

Una vez que se ha averiguado la diferencia en brillo entre las estrellas patrón en grados, se construye una escala absoluta de grados e la que la estrella más brillante, tendrá el grado 0 (La a en nuestro caso). Es como si construyéramos una escala relativa de magnitudes, en la que se asigna a las estrellas patrón unos nuevos valores.

Como b es M1 grados menos brillante que a, su grado absoluto en relación a a será M1. Como c es M2 grados menos brillante que b y b lo es M1 respecto a a, es evidente que c tendrá, en la nueva escala, respecto de a, M1 + M2 grados menos de brillo que a. Como d por otro lado es M3 grados menos brillante que c, y c lo es M1 + M2 menos que a, d respecto de a será M1 + M2 + M3 grados menos brillante.

El paso siguiente consiste en llevarse a un sistema de ejes coordenados los valores obtenidos en grados “absolutos”.

En abcisas colocamos los grados asignados a a, b, c y d y en ordenadas las magnitudes visuales aparentes tomadas de alguna carta. En el caso ideal saldrán una serie de puntos, alineados dando una recta, pero esto sucederá pocas veces. Lo mas probable es que los puntos no estén alineados, debemos de unirlos con una curva dibujada en tal forma que las distancias de los puntos a la curva en dirección al eje de ordenadas sea la mínima posible.

Una vez construida la curva anterior en papel milimetrado, se procede a determinar en que punto del eje de abcisas le corresponde estar a nuestra variable. es decir, determinar cual es el grado absoluto de brillo con relación a a que es el cero de la escala. Supongamos que las tres mediciones para la variable corresponden a los puntos S1,S2 y S3, podremos leer las magnitudes de la estrella en la ordenada correspondiente a cada uno de estos puntos.

Pero veamos ahora como se determinan los puntos S1, S2 y S3 a partir de los datos de las mediciones.

1ª Medida:

Si a es 0 grados mas brillante que a y a es m1 grados más brillante que V, se deduce que a es (0 + m1) grados mas brillante que V. Si a es M1 grados mas brillante que b y V es n1 grados mas brillante que b, se deduce que a es (M1 - n1) grados mas brillante que V.

Si (a(M1 + M2)c) y ((Vp1c) => a(M1 + M2 - p1)V

Si (a(M1 + M2 + M3)d) y (Vq1d) => a(M1 + M2 + M3 - q1)V

Así el valor medio S1 de grados que es a mas brillante que V será:

S1 = ((0+m1)+(M1-n1)+(M1+M2-p1)+(M1+M2+M3-q1)) / 4

2ª Medida:

Si a0a y am2V => a(0+m2)V

Si aM1b y bn2V => a(M1+n2)V

Si a(M1+M2)c y Vp2c => a(M1+M2-p2)V

Si a(M1+M2+M3)d y Vq2d => a(M1+M2+M3-q2)d

El valor medio S2 de grados que es a mas brillante que V será:

S2 = ((0+m2)+(M1+n2)+(M1+M2-p2)+(M1+M2+M3-q2)) / 4

3ª Medida:

Si a0a y am3V => a(0+m3)V

Si aM1b y bn3V => a(M1+n3)V

Si a(M1+M2)c y cp3V => a(M1+M2+p3)V

Si a(M1+M2+M3)d y Vq3d => a(M1+M2+M3-q3)d

El valor medio S3 de grados que es a mas brillante que V será:

S3 = ((0+m3)+(M1+n3)+(M1+M2+p3)+(M1+M2+M3-q3)) / 4

Para hacer mas comprensible el método de Los Grados de Hershel-Argelander, vamos a resolver un caso practico, sobre una variable típica cefeida; se trata de XZ Cephei.

MEDIDAS REALIZADAS

De las expresiones anteriores:

M1 = (4+2+2.5)/3 = 2.8

M2 = (1+2+2.5)/3 = 1.8

M3 = (1+1.5+1)/3 = 1.2

Con estos valores y las magnitudes de las estrellas patrón se construye la gráfica, obteniéndose la curva de magnitudes frentes a grados de brillo. A continuación se determinan los valores de S1,S2 y S3 según las expresiones que calculamos antes.

S1 = ((0+2)+(2.8-2)+(2.8+1.8-3)+(2.8+1.8+1.2-4))/4 = 1.55

S2 = ((0+3)+(2.8+1)+(2.8+1.8-1)+(2.8+1.8+1.2-2.5))/4 = 3.42

S3 = ((0+5)+(2.8+2.5)+(2.8+1.8+0)+(2.8+1.8+1.2-1))/4 = 4.85

Estos puntos llevados a la gráfica corresponden con las magnitudes 8.1, 8.44 y 8.72. Si las observaciones fuesen repitiéndose día tras día podríamos obtener la curva de luz de esta variable y si el observador es experto la medida de magnitud no tendrá un error superior a 0.1 mag.

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