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Plano (geometría)

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Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.
Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

El plano, en geometría, es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con la recta y el punto. Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

  • Tres puntos no alineados.
  • Una recta y un punto exterior a ella.
  • Dos rectas paralelas.
  • Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Representación gráfica informal de un plano.
Representación gráfica informal de un plano.

[editar] Ecuación del plano

Un plano se puede definir mediante un punto y dos vectores.

Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)

(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(a_1, b_1 ,c_1) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 => \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la formula para hallar la ecuacion cuando no esta en el origen es a(x-h)al cuadrado+b(y-k)al cuadrado+c(z-j)=0

[editar] Véase también