Cálculo de las coordenadas planetocéntricas de la Tierra
Desde diferentes planetas
Marte, Júpiter y Saturno la Tierra tiene diferentes coordenadas ecuatoriales (AE, DE) (ascensión recta y declinación) y los orígenes de estas magnitudes también son diferentes. La ascensión recta de la Tierra AE se empieza a contar desde el punto vernal V del planeta correspondiente y se mide en sentido positivo. A diferencia de la ascensión recta su unidad son los grados. Este punto V es la intersección de los planos orbital y ecuatorial del planeta. Es por tanto similar al punto Aries de la Tierra. La declinación planetocéntrica de la Tierra es la distancia angular de la Tierra al Ecuador del planeta. Es igual y de signo contrario (opuesta) a la distancia angular del planeta al plano ecuatorial de éste.El cálculo se realizará mediante las expresiones:
donde (a, d) son las coordenadas geocéntricas del planeta, que se calculan por un
procedimiento similar al usado para el applet Efemer, pero esta vez sólo para el planeta especificado.(a0 , d0 ) son las coordenadas geocéntricas del polo Norte del planeta.
Para el caso de
Marte:
Para el caso de
Júpiter
Para
Saturno:
Para el cálculo necesitamos
F ascensión recta planetocéntrica del nodo N del ecuador del planeta Q’ respecto al ecuador de la Tierra. Valen:| Planeta |
Marte |
Júpiter |
Saturno |
| F |
136º,45 |
221º,70 |
-180 |
El caso de Saturno merece un comentario aparte.
Para efectuar el cálculo:
La forma de resolver la ambigüedad es la siguiente: (AE -
F) se calcula mediante el arc cos así que si:|
(AE - F) es del... |
Java lo calcula... |
Sen (AE - F) es.. |
Se Resuelve... |
|
1º cuadrante |
1º cuadrante |
+ |
No ambigüo |
|
2º cuadrante |
2º cuadrante |
+ |
No ambigüo |
|
3º cuadrante |
2º cuadrante |
- |
360º-V. calculado |
|
4º cuadrante |
1º cuadrante |
- |
360º-V. calculado |
Aplicación para Saturno
Este programa se puede aplicar a Saturno para calcular U longitud geocéntrica de Saturno medida en el plano de los anillos y a partir del nodo ascendente que el anillo forma con el ecuador de la Tierra y B latitud saturnicéntrica de la Tierra contada desde el plano de los anillos. U+180º es la longitud saturnicéntrica de la Tierra medida de la misma forma. Las equivalencias son B con DE y U+180 con (AE -
El ángulo P es el ángulo de posición del semieje menor de la parte norte de los anillos de Saturno contado en sentido positivo (antihorario). P se expresa siempre en la primera vuelta 0<=P<360º. Se calcula mediante la expresión cos B sen P=cos d0 sen(a0-a) por lo que si el arc sen da un valor negativo se suma 360º.
Un caso interesante sucede si B=0 vemos los anillos de canto y por su poco espesor desaparecen de nuestros ojos. Según el Anuario de San Fernando los ejes de la elipse exterior del anillo exterior deben multiplicarse por los siguientes factores para obtener:
|
Elipse interior del anillo exterior |
0,8801 |
|
Elipse exterior del anillo interior |
0,8599 |
|
Elipse interior del anillo interior |
0,6650 |
|
Elipse interior del anillo oscuro |
0,5486 |
El cálculo no está corregido del tiempo de luz o tiempo que tarda en llegar la luz desde el planeta a la Tierra. No obstante se ofrece en el applet este valor.Como el tiempo de luz varía lentamente, el fenómeno calculado en T lo ve el observador en T+tl y si lo observa en T ha ocurrido en T-tl
Cálculo de las coordenadas planetocéntricas del Sol
Sabemos que el punto vernal V es la intersección de los planos orbital y ecuatorial del planeta. Es por tanto similar al
punto Aries de la Tierra. A partir de él y sobre la órbita se mide la longitud planetocéntrica del Sol LS.Análogamente el Sol tiene unas coordenadas planetocéntricas ecuatoriales (AS, DS) (
ascensión recta y declinación). La ascensión recta del Sol AS se empieza a contar desde el punto vernal V del planeta correspondiente y se mide por el Ecuador del planeta en sentido positivo. A diferencia de la ascensión recta su unidad son los grados. La declinación p lanetocéntrica del Sol es la distancia angular del Sol al Ecuador del planeta.El valor de LS determina las estaciones del planeta. Supongamos el caso de
Marte para el cual esto tiene un sentido climático. Un valor de Sol LS=0 y creciendo significa que el Sol pasa del hemisferio sur del planeta al norte es el Equinoccio de Primavera. Los días y las noches duran igual y comienza la Primavera en el H. Norte. Esta dura hasta que LS=90º Solsticio de Verano do nde el día tiene una duración máxima en el hemisferio norte y mínima en el sur. Por ser la duración del año marciano aproximadamente doble que el terrestre también lo es la duración de las estaciones. La diferencia entre sus duraciones es mayor porque la excentricidad de la órbita marciana es mucho mayor que la terrestre. Puedes probar diferentes instantes para ver cuando será el próximo cambio de estación.El cálculo de la longitud solar planetocéntrica se efectúa mediante la ecuación:
LS=l’-
W+Y+180º donde l’ es la longitud heliocéntrica del planeta sobre su órbita. W es la longitud del nodo ascendente de la órbita del planeta respecto a la eclíptica (nodo J). Y es la longitud planetocéntrica del nodo J. Para el caso de Marte Y=144º,62. En el applet de Java LS = L1 - ND + PI + LPN; dado que todo se expresa en radianes.El cálculo de l’ es similar a la reducción al ecuador :
En el programa:
L1 = L + pow((tan(I / 2)), 2) * sin(2*(L - ND));
Obtenido LS similar a la longitud del Sol para la Tierra, el cálculo de (AS, DS) las coordenadas ecuatoriales se hace de forma similar al terrestre, mediante las ecuaciones:
siendo
Dado que las ecuaciones son iguales también lo será la resolución de la ambigüedad para As. La única diferencia es que viene dada en grados en vez de horas.
Valor correcto=valor ambigüo+180k siendo k la parte entera de la mitad del cuadrante al que pertenece Ls. K=floor(n/2)
El cuadrante al que pertenece Ls es (1 + floor(LS * 2 / PI) Por lo que:
ARS = ARS + PI * floor((1 + floor(LS * 2 / PI)) / 2);
Ejemplo 1: Comprobar que el 31 de julio de 1999 a las 12h 52m TU y con un tiempo de luz de 8,3 minutos acaba el verano en el hemisferio norte de Marte y comienza el Otoño.
Ejemplo 2: Calcular a partir de ese instante cuando cambian las estaciones en Marte y su duración en los diferentes hemisferios.
Ángulo de fase, Fase, Defecto de iluminación
El ángulo F es el ángulo que forman el Sol y la Tierra, vistos desde el planeta.
El ángulo Q es el que forman las direcciones Polo Norte del planeta y Sol, vistos desde el centro geométrico del planeta.
El cálculo de los ángulos F y Q es la base para el cálculo de la fase K o fracción del disco solar iluminada y del defecto de iluminación.
El cálculo de F y Q se basa en los valores de las Ascesión Recta y Declinación planetocéntrica de la Tierra (Ae ,De ) y del Sol (As ,Ds ). El ángulo P es el que forman el polo Norte del planeta y el Norte del disco (polo Norte de la Tierra). Se cuenta en sentido positivo (antihorario). P se expresa siempre en la primera vuelta 0<=P<360º. Se calcula mediante la expresión cos De sen P=cos d0 sen(a0-a) por lo que si el arc sen da un valor negativo se suma 360º.
El Sol forma con la dirección Norte del disco un ángulo P+Q, mientras que el defecto de iluminación o ángulo en que la anchura de la parte del disco planetario no iluminada es máxima es P+Q+180º.
Las expresiones para el cálculo de F y Q son:
Sen F cos Q= - sen De cos Ds cos (Ae-As)+ cos De sen Ds Sen F sen Q= cos Ds sen (Ae-As) Cos F = cos De cos Ds cos (Ae-As)+ sen De sen Ds
El applet de Java funciona calculando F de la tercera. Se calcula Q de la segunda, que puede ser ambigüo, y la primera sirve para resolver la ambigüedad pues si cos Q>0 el valor calculado Q es correcto mientras que en caso contrario vale 180º- valor calculado.
La fase K se calcula a partir del ángulo de fase, mediante la expresión k=(1+cos F)/2=(cos F/2)2
.