Ecuación de Kepler

Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino según la ley de las áreas barriendo el radio vector Sol-Planeta áreas iguales en tiempos iguales. La plasmación matemática de esta ley es la Ecuación de Kepler: M=E-e sen E donde M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese en movimiento uniforme, e es la excentricidad de la elipse situada entre 0<=e<1 y E es la anomalía excéntrica que es la incógnita que resuelve el problema.

Supongamos que el planeta da una vuelta al Sol en un tiempo denominado periodo T. El movimiento medio n es el ángulo girado en la unidad de tiempo suponiendo movimiento uniforme n=360/T en grados/día si el periodo se expresa en días. Usando la 3ª ley de Kepler GM T2/a3=4p2 resulta n2=(2p/T)2=GM/a3 siendo a el semieje mayor de la órbita.

Si t0 es el instante de paso por el perihelio, la anomalía media en un instante t es M=n*(t-t0)

Se puede demostrar que la Ecuación de Kepler es: M=E-e sen E.

Para un tiempo dado, M es conocido, con la que queda una ecuación trascendente en E cuya resolución es el motivo de este applet. Se podría haber resuelto usando el método de Newton. Este método se ha usado para resolver el movimiento hiperbólico. Aquí se ha preferido las aproximaciones sucesivas: E0=M. E1=M+e sen E0 y en general Ei=M+e sen Ei-1 hasta que la diferencia entre Ei-1 y Ei es menor que una cantidad prefijada. Para ello se ha usado la estructura de Java while (condicion). La ecuación se puede resolver en radianes o en grados en este último caso hay que hacer homogéneos ambos sumandos Ei=M+e sen Ei-1 180/p.

Una vez hallado E se calculan las coordenadas cartesianas (x,y) del planeta. El sistema de ejes X e Y están en el plano de la órbita y se cortan en el Sol (o primario) estando dirigido el sentido positivo del eje X hacia el perihelio del planeta.

Las coordenadas x e y en función de la Anomalía Excéntrica E y la Anomalía Verdadera V cumplen:

x=r cos V=a (cos E-e)
y=r sen V=a (1-e2)1/2 sen E
En el applet se calcula (x,y) mediante E lo que tiene la ventaja de omitir el cálculo de V mediante su relación con E. Posteriormente se calcula V mediante la relación entre polares y cartesianas tg V=y/x resolviendo la ambigüedad si x<0 añadiendo a V, 180º. Si V es negativo (4º cuadrante) se añade 360º. Se podría calcular r mediante r2= x2+y2 o mediante r=a (1-e cos E).

Calculando (x,y) para varios tiempos distribuidos a lo largo del periodo puede dibujarse la órbita y comprobar la ley de las áreas.

Ejemplo: Para el cometa Encke a=2.218 U.A. e=0.84716 n= 0,2985 º/día y periodo T=1206,03 días. Calcular los puntos (x,y) cada 30 o 60 días y representarlos en papel milimetrado.